Alexander Einarsson studierte an der Musikhochschule Malmö, der Königlich Dänischen Musikakademie in Kopenhagen, am Chorzentrum der Universität Uppsala sowie an der Sorbonne. Er ist ausgebildeter Organist und Dirigent, mit Schwerpunkt Chorleitung.

Sein Repertoire umfasst die gesamte Literatur des Chorgesangs, mit dem symphonischen und Opernchorrepertoire ist er sehr vertraut. Er dirigierte gängige klassische Repertoires für Chor und Orchester, wie z.B. Bach-Passionen und Weihnachtsoratorium, Brahms, Verdi, Mozarts Requiem, Haydn, Schubert-Messen, Händels Oratorien als auch Werke von Poulenc, Szymanowski, Stravinsky und Britten.

Durch sein großes Interesse an Neuer Musik sind mehrere Uraufführungen auf seiner Repertoireliste (z.B. MacMillan, Kilstofte, Emanuelsson). Auch dirigierte er in jüngster Zeit Konzertopern wie Bernsteins Candide, Purcells Dido & Aeneas und Händels Acis and Galatea.

Als freischaffender Dirigent und Musiker hatte er Aufträge für das Musikcorps der Königlichen Marine, die Oper Malmö, das Helsingborg Sinfonie Orchester, das Malmö Sinfonie Orchester, das Göteborg Sinfonie Orchester, den Königlich Dänischen Rundfunk, das Malmö Barock Orchester sowie die Berliner Sinfoniker. Als Dirigent, Pianist und Organist ist er regelmäßig Gast beim schwedischen und dänischen Rundfunk. Unter seiner Leitung wurden mehr als 400 A-cappella-Konzerte aufgeführt und CD- und Filmaufnahmen realisiert.

Er arbeitet mit Jugendchören, mit semiprofessionellen und professionellen Erwachsenenchören bis hin zum Opernchor. Als Chorleiter hat er mit Dirigenten wie Kent Nagano, Simone Young, Anja Bihlmeier, Herbert Blomstedt, Jukka-Pekka Saraste, Nathalie Stutzmann, Marc Soustrot und Evan Rogister zusammengearbeitet und assistiert. Zusammen mit Barbara Hannigan und dem Regisseur Linus Fellbom arbeitete er als Chorleiter am Set von Strawinskys The Rakes Progress, das auch im schwedischen und deutschen Fernsehen ausgestrahlt wurde.

Einarsson erhielt für seine Arbeit im Chorgesang mehrere internationale Auszeichnungen bei Chorwettbewerben als Chorleiter von Jugend- und Erwachsenenchören - darunter Gold bei den World Choir Games in Südafrika, den Grand Prize in Venedig und Budapest oder als Gewinner in Krakau. Er wurde mit dem Oldham Chorleiterpreis in Tours ausgezeichnet. Im Jahr 2018 wurde Einarsson zum Chorleiter des Jahres in Schweden ernannt und als einer der 20 wichtigsten schwedischen Musiker des Jahres 2018 in der Klassikzeitschrift OPUS aufgeführt.